Question

如果函數(shù)f（x）=

2ax-1，x∈(0，1] 3ax-1，x∈(1，+∞)

，g（x）=log₂x，關(guān)于x的不等式f（x）•g（x）≥0對(duì)于任意x∈（0，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先考慮關(guān)于x的不等式f（x）•g（x）≥0對(duì)于任意x∈（0，1]恒成立，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到f（x）=2ax-1≤0在（0，1]恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離法，求出a的范圍；再求關(guān)于x的不等式f（x）•g（x）≥0對(duì)于任意x∈（1，+∞）恒成立的a的范圍．運(yùn)用同樣的參數(shù)分離法，求最值，即可求出a的范圍．注意最后求交集．

解答： 解：當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，g（x）=log₂x≤0，
∵關(guān)于x的不等式f（x）•g（x）≥0對(duì)于任意x∈（0，1]恒成立，
∴f（x）=2ax-1≤0在（0，1]恒成立，即有2a≤

1

x

恒成立，則2a≤1，即a≤

1

2

；
當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）=log₂x＞0，
∵關(guān)于x的不等式f（x）•g（x）≥0對(duì)于任意x∈（1，+∞）恒成立，
∴f（x）=3ax-1≥0在（1，+∞）恒成立，即有3a≥

1

x

恒成立，則3a≥1，即a≥

1

3

．
∵關(guān)于x的不等式f（x）•g（x）≥0對(duì)于任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴a的取值范圍是：[

1

3

，

1

2

]．
故答案為：[

1

3

，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)和運(yùn)用，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和應(yīng)用，考查不等式的恒成立問題，運(yùn)用參數(shù)分離法，求最值，屬于中檔題．