解:(Ⅰ)∵
=[f(x)+2f'(1)]
-ln(x+1)
,且A、B、C在直線l上,
∴f(x)+2f'(1)-ln(x+1)=1,(2分)
∴y=f(x)=ln(x+1)+1-2f'(1),f'(x)=
,于是f'(1)=
,
∴f(x)=ln(x+1)(4分)
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-
,由g'(x)=
-
=
,
以及x>0,知g'(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),又g(x)在x=0處右連續(xù),
∴當(dāng)x>0時(shí),得g(x)>g(0)=0,∴f(x)>
(8分)
(Ⅲ)原不等式等價(jià)于
,
令h(x)=
=
,則h'(x)=
=
,(10分)
∵x∈(-1,0)時(shí),h'(x)>0,x∈(0,1)時(shí),h'(x)<0,
∴h(x)在(-1,0)為增函數(shù),在(0,1)上為減函數(shù),(11分)
∴當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),h(x)
max=h(0)=0,從而依題意有0≤m
2-2m-3,
解得m≥3或m≤-1,故m的取值范圍是(-∞,-1]∪[3,+∞)(12分)
分析:(Ⅰ)先利用從同一點(diǎn)出發(fā)終點(diǎn)在一條線上的三向量間的關(guān)系得到f(x)+2f'(1)-ln(x+1)=1,再求出y=f(x)的表達(dá)式,進(jìn)而求出f'(1),找到f(x)=ln(x+1).
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-
,利用導(dǎo)函數(shù)找出g(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,可得結(jié)論.
(Ⅲ)h(x)=
,轉(zhuǎn)化為找h(x)在x∈[-1,1]上的最大值,讓找出的最大值小于等于m
2-2m-3即可.
點(diǎn)評(píng):本題是函數(shù)和向量的一道綜合題,在解題過(guò)程中用到從同一點(diǎn)出發(fā)終點(diǎn)在一條線上的三向量間的關(guān)系,即系數(shù)和為1這一結(jié)論.而后兩問(wèn)都用到了利用導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)的單調(diào)性,這是一道中檔難度的題.