已知函數(shù)f(x)=ln(x+2)-x2+bx+c.在點x=1處的切線與直線3x+7y+2=0垂直,且f(-1)=0,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的最小值.
【答案】分析:與直線3x+7y+2=0垂直的直線的斜率為,令,得b=4,又f(-1)=ln(2-1)-1-4+c=0,所以c=5,,由f′(x)=0,得x=,由此能求出以f(x)在[0,3]最小值.
解答:解:與直線3x+7y+2=0垂直的直線的斜率為,
,得b=4,
∵f(-1)=ln(2-1)-1-4+c=0,
∴c=5,
由f′(x)=0,得x=
時,f′(x)≥0,f(x)單調遞增;
時,f′(x)≤0,f(x)單調遞減.
∵f(0)=ln2+5,f(3)=ln5+8,
所以f(x)在[0,3]最小值為ln2+5.
點評:本題考查利用導數(shù)的性質求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值,解題時要認真審題,仔細解答,注意挖掘題設中的隱含條件,合理地進行等價轉化.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當a=1時,若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當x0=
x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當x≥e時,對于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結論.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn,則S2012的值為( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點;
(Ⅱ)若直線l過點(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調增區(qū)間;
(2)已知當x>0時,函數(shù)在(0,
6
)上單調遞減,在(
6
,+∞)上單調遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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