已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a，且不等式f(x)＜-2x的解集為(1,3).(1)若方程f(x)+6a=0有兩個相等的根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最小值為負數(shù)，求a的取值范圍.

解析：本題綜合考查一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)的關系及其性質(zhì)，重點是互相之間的轉(zhuǎn)化.在(1)中，通過不等式f(x)＜-2x的解集為(1,3),用二次函數(shù)的標根式把不等式轉(zhuǎn)化成函數(shù)，再根據(jù)韋達定理將問題轉(zhuǎn)化成關于a的方程.在（2）中，既可以根據(jù)二次函數(shù)的最值公式將題意轉(zhuǎn)化成不等式，也可以用配方法求最值.

答案：(1)∵f(x)+2x＜0的解集為(1,3),∴設f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，則a＞0.因而

　　f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a①

　　由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0②?

∵方程②有兩個相等的根，

∴Δ=［-(2+4a)］2-4a·9a=0,?

即5a2-4a-1=0.解得a=1或a=-.

由于a＞0，舍去a=-.將a=1代入①得f(x)的解析式f(x)=x2-6x+3.?

(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a

=a(x-)2-及a＞0，可得f(x)的最小值為-.?

由題意可得解得a＞0.

故當f(x)的最小值為負數(shù)時，實數(shù)a的取值范圍是a＞0.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+
1
2
滿足f（1+x）=f（1-x）且方程f(x)=
5
2
-x有等根
（1）求f（x）的表達式；
（2）若f（x）在定義域（-1，t]上的值域為（-1，1]，求t的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)m、n（m＜n），使f（x）定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，若存在，求出m、n的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，函數(shù)y=f(x)+
2
3
x-1的圖象過原點且關于y軸對稱，記函數(shù) h(x)=
x
f(x)．
（I）求b，c的值；
（Ⅱ）當a=
1
10
時，求函數(shù)y=h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）試討論函數(shù) y=h（x）的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個不相等的實根，當a＞0時判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）若方程g（x）=x的兩實根為x1，x2f（x）=0的兩根為x3，x4，求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=
-x2-x+2
的定義域為A，若對任意的x∈A，不等式x2-4x+k≥0成立，則實數(shù)k的最小值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個不相等的實根，當a＞0時判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）當b=2a時，問是否存在x的值，使?jié)M足-1≤a≤1且a≠0的任意實數(shù)a，不等式f（x）＜4恒成立？并說明理由．

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