Question

已知雙曲線實(shí)軸在軸，且實(shí)軸長(zhǎng)為2，離心率,  L是過(guò)定點(diǎn)的直線.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）判斷L能否與雙曲線交于,兩點(diǎn)，且線段恰好以點(diǎn)為中點(diǎn)，若存在，求出直線L的方程，若不存，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）（2）不存在過(guò)點(diǎn)P的直線L與雙曲線有兩交點(diǎn)A、B，且線段AB以點(diǎn)P為中點(diǎn)

試題分析：（1）∵2a="2" ，∴a=1，又,∴c=，
∴，
∴標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）①：若過(guò)點(diǎn)P的直線斜率不存在，則L的方程為：，
此時(shí)L與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意.
②: 若過(guò)點(diǎn)P的直線斜率存在且設(shè)為,則L的方程可設(shè)為：，
設(shè),AB的中點(diǎn),
由得，  ①
顯然，要有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則.所以,
要以P為中點(diǎn)，則有，解得,
當(dāng)時(shí)，方程①為：,該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即L不會(huì)與雙曲線有交點(diǎn)，
所以，不存在過(guò)點(diǎn)P的直線L與雙曲線有兩交點(diǎn)A、B，且線段AB以點(diǎn)P為中點(diǎn).
點(diǎn)評(píng)：每年高考都會(huì)考查圓錐曲線問(wèn)題，此類題目一般運(yùn)算量較大，主要考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.