精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

已知函數f（x）=-x2+ax+lnx+b．
（Ⅰ）若函數f（x）在x=1處的切線方程為y=2，求a、b的值；
（Ⅱ）若a=1，函數f（x）的圖象能否總在直線y=b+1的下方？若能，請加以證明；若不能，請說明理由．

解：（Ⅰ）∵f（x）=-x2+ax+lnx+b
∴（2分）
∵函數f（x）在x=1處的切線方程為y=2，
∴，即，?（4分）
（Ⅱ）當a=1時，f（x）=-x2+x+lnx+b，定義域為（0，+∞）（5分）
（6分）
令f′（x）=0，得x=1或（舍去）
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0
當x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：
（8分）
∴f（x）在x=1處取極大值（9分）
又f（x）只有一個極大值，故它為最大值
∴f（x）max=f（1）=b（10分）
∵f（1）=b＜b+1，即f（x）max＜b+1
∴函數f（x）的圖象總在直線y=b+1的下方（12分）
分析：（I）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，得到切線的斜率為0，以及切點在函數f（x）的圖象上，建立方程組，解之即可求出a與b的值；
（II）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值，f（x）只有一個極大值，故它為最大值，欲使函數f（x）的圖象總在直線y=b+1的下方，只需f（x）max＜b+1即可．
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數的極值等基礎題知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若函數y=f(2x+
π
4
)的圖象關于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）為定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關于x的方程f（x）-a=o有解，求實數a的范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調，求實數m的范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數a的取值范圍是
 
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案