Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)m＞0時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)m≥1時(shí)，曲線C：y=f（x）在點(diǎn)P（0，1）處的切線l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
求m的取值的集合M．

Answer 1

解：由題設(shè)知：
（Ⅰ）當(dāng)m＞0時(shí)，，
而
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為∪；
單調(diào)遞減區(qū)間為．
（Ⅱ）由題設(shè)知：P∈C，f'（0）=-1，切線l的方程為y=-x+1，
于是方程：，即有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
設(shè)，得g（0）=0；
，
當(dāng)m=1時(shí)，，g（x）為增函數(shù)，符合題設(shè)；
當(dāng)m＞1時(shí)，有，得x∈（0，+∞），
g'（x）＞0，g（x）在此區(qū)間單調(diào)遞增，g（x）＞0；
在此區(qū)間單調(diào)遞減，g（x）＞0；
在此區(qū)間單調(diào)遞增，；
此區(qū)間存在零點(diǎn)，即得m＞1不符合題設(shè)；
∴由上述知：M={1}．
分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，
（Ⅰ）把求出的導(dǎo)函數(shù)通分并分解因式后，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由題意可知點(diǎn)P在曲線C上，把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中求出的函數(shù)值即為切線方程的斜率，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和求出的斜率寫(xiě)出切線的方程，與曲線C的方程聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程只有一個(gè)解，設(shè)方程左邊的式子等于g（x），且得到g（0）=0，求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，分m=1和m大于1兩種情況考慮：當(dāng)m=1時(shí)，代入得到g（x）的導(dǎo)函數(shù)大于等于0，即g（x）為增函數(shù)，符合題意；當(dāng)m大于1時(shí)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)在m大于1時(shí)有零點(diǎn)，不合題意，綜上，得到滿足題意m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，是一道中檔題．