Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，${a_2}=\frac{1}{3}$，若${a_n}（{a_{n-1}}+2{a_{n+1}}）=3{a_{n-1}}•{a_{n+1}}（n≥2，n∈{N^*}）$，則數(shù)列{a_n}的通項a_n=（　�。�

• A． $\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$
• B． $\frac{1}{{{2^n}-1}}$
• C． $\frac{1}{{{3^{n-1}}}}$
• D． $\frac{1}{{{2^{n-1}}+1}}$

Answer 1

分析 由${a_n}（{a_{n-1}}+2{a_{n+1}}）=3{a_{n-1}}•{a_{n+1}}（n≥2，n∈{N^*}）$，可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}）$，利用等差數(shù)列的通項公式可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2ⁿ．再利用累加求和與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：由${a_n}（{a_{n-1}}+2{a_{n+1}}）=3{a_{n-1}}•{a_{n+1}}（n≥2，n∈{N^*}）$，
可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}）$，
$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}$=3-1=2，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等比數(shù)列，首項為2，公比為2．
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2ⁿ．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}）$+$（\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n-2}}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}）$+$\frac{1}{{a}_{1}}$=2^n-1+2^n-2+…+2+1=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$．
故選：B．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、累加求和與等比數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．