(2011•廣東模擬)已知函數(shù)f(x)=
a-x
+
x
(a∈N*),對定義域內(nèi)任意x1,x2,滿足|f(x1)-f(x2)|<1,則正整數(shù)a的取值個數(shù)是
5
5
分析:對定義域內(nèi)任意x1,x2,滿足|f(x1)-f(x2)|<1,即表明f(x)的最大值與最小值的差小于1.(也就是值域區(qū)間的長度小于1),求其最大最小值即可.
解答:解:∵a-x≥0,x≥0,∴0≤x≤a,∴定義域?yàn)閇0,a]
對定義域內(nèi)任意x1,x2,滿足|f(x1)-f(x2)|<1,即表明f(x)的最大值與最小值的差小于1.(也就是值域區(qū)間的長度小于1),求其最大最小值即可
∵f(x)=
a-x
+
x
≥0
∴[f(x)]2=a+2
x(a-x)
≥a,當(dāng)x=0或a時(shí),f(x)取最小值
a

又x(a-x)≤[
x+(a-x)
2
]2=
a2
4
,當(dāng)x=a-x即x=
a
2
時(shí)取等號
即[f(x)]2≤a+a=2a,f(x)≤
2a
,當(dāng)x=
a
2
時(shí)取最大值
2a

∴(
2
-1)
a
<1
a
1
2
-1
=1+
2

∴a<3+2
2

∵a∈N*,
∴a=1、2、3、4、5
∴正整數(shù)a的取值個數(shù)是5個.
故答案為:5
點(diǎn)評:本題考查恒成立問題,考查函數(shù)的最值,解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為值域區(qū)間的長度小于1.
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x2
2(x-1)

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(2)已知各項(xiàng)均為負(fù)的數(shù)列{an}滿足,4Sn•f(
1
an
)=1
,求證:-
1
an+1
ln
n+1
n
<-
1
an
;
(3)設(shè)bn=-
1
an
,Tn為數(shù)列 {bn} 的前n項(xiàng)和,求證:T2012-1<ln2012<T2011

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}
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1
x
)(y+
1
y
)
的最小值為
25
4
25
4

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