Question

已知函數(shù)f（x）=cos（

π

3

+x）cos（

π

3

-x），g（x）=

1

2

sin2x-

1

4

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對于求函數(shù)f（x）的最小正周期，可以先將函數(shù)按照兩角和，兩角差的余弦公式展開后，再利用降冪公式化成一個角一個函數(shù)的形式后，用公式T=

2π

ω

周期即可求出．
（Ⅱ）對于函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），把f（x）與g（x）解析式代入后，依照兩角和余弦公式的逆用化成一個角一個函數(shù)為h（x）=

2

2

cos（2x+

π

4

），由于定義域為全體實數(shù)R，故易知最值為

2

2

，而此時角2x+

π

4

應為x軸正半軸的所有角的取值，即2x+

π

4

=2kπ，k∈Z．由此確定角x的取值幾何即可．

解答：解：（1）f（x）=cos（

π

3

+x）cos（

π

3

-x）=（

1

2

cosx-

3

2

sinx）（

1

2

cosx+

3

2

sinx）=

1

4

cos²x-

3

4

sin2 x=

1+cos2x

8

-

3-3cos2x

8

=

1

2

cos2x-

1

4

，
∴f（x）的最小正周期為

2π

2

=π
（2）h（x）=f（x）-g（x）=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x=

2

2

（

2

2

cos2x-

2

2

sin2x）=

2

2

（cos

π

4

cox2x-sin

π

4

sin2x）=

2

2

cos（2x+

π

4

）
∴當2x+

π

4

=2kπ，k∈Z，即x=kπ-

π

8

，k∈Z時，h（x）取得最大值

2

2

，且此時x取值集合為{x|x=kπ-

π

8

，k∈Z}

點評：本題主要考查三角函數(shù)的周期和最值問題，并兼顧檢測了學生對兩角和，差的正余弦公式和降冪公式等，屬于三角函數(shù)的綜合性問題．而解決有關(guān)復合角三角函數(shù)問題的關(guān)鍵還是在于對三角函數(shù)性質(zhì)的掌握，本題難度系數(shù)0.6