如圖，兩射線AM，AN互相垂直，在射線AN上取一點B使AB的長為定值2a，在射線AN的左側以AB為斜邊作一等腰直角三角形ABC．在射線AM，AN上各有一個動點D，E滿足△ADE與△ABC的面積之比為3：2，則數(shù)學公式•數(shù)學公式的取值范圍為________．

[5a2，+∞）
分析：以AM所在的直線為x軸，以AN所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，設除點D（m，0）、E（0，n），化簡 =m2+ma+na．再由△ADE與△ABC的面積之比為3：2，求得n與m的關系．令f（m）=，利用導數(shù)求得函數(shù)f（m）取得最小值為 f（m），即可得到•的取值范圍．
解答：以AM所在的直線為x軸，以AN所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．
由題意可得點C（-a，a），a＞0，A（0，0）、B（0，2a）．
設點D（m，0）、E（0，n），則有=（m+a，-a）、=（m，-n），∴=m2+ma+na．
再由△ADE與△ABC的面積之比為3：2 可得 =，∴mn=3a2，∴n=．
令f（m）=，則 f（m）=m2+ma+na=m2+ma+，
故有 f′（m）=2m+a+=．
由于a＞0、m＞0，令 f′（m）＞0，解得 m＞a． 令f′（m）＜0 解得 0＜m＜a．
故函數(shù)f（m）在（0，a）上是減函數(shù)，在（a，+∞）上是增函數(shù)，
故當m=a時，函數(shù)f（m）取得最小值為 f（m）=5a2，故函數(shù)f（m）的值域為[5a2，+∞），
故答案為[5a2，+∞）．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應用，兩個向量坐標形式的運算，利用導數(shù)求函數(shù)的極值，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•河北區(qū)一模）如圖展示了一個由區(qū)間（0，1）到實數(shù)集R的映射過程：如圖1，在區(qū)間（0，1）中數(shù)軸上的點M對應實數(shù)m；如圖2，將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合；如圖3，將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1），射線AM與x軸交于點N（n，0）．則n就是m的象，記作f（m）=n．

下列說法：
①f（x） 的定義域為（0，1），值域為R；
②f（x） 是奇函數(shù)；
③f（x） 在定義域上是單調函數(shù)；
④f（
1
4
）=-
1
2
；
⑤f（x） 的圖象關于點（
1
2
，0）對稱．
其中正確命題的序號是
①③⑤
①③⑤
．（寫出所有正確命題的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年天津市河北區(qū)高考數(shù)學一模試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

如圖展示了一個由區(qū)間（0，1）到實數(shù)集R的映射過程：如圖1，在區(qū)間（0，1）中數(shù)軸上的點M對應實數(shù)m；如圖2，將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合；如圖3，將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1），射線AM與x軸交于點N（n，0）．則n就是m的象，記作f（m）=n．

下列說法：
①f（x） 的定義域為（0，1），值域為R；
②f（x） 是奇函數(shù)；
③f（x） 在定義域上是單調函數(shù)；
④f（）=-；
⑤f（x） 的圖象關于點（，0）對稱．
其中正確命題的序號是    ．（寫出所有正確命題的序號）

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