Question

已知直線y=mx（m∈R）與函數(shù)f(x)=

2-( 1 2 )x，x≤0 1 2 x3+1，x＞0

的圖象恰有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式f(x)=

2-( 1 2 )x，x≤0 1 2 x3+1，x＞0

畫出函數(shù)的圖象，從而根據(jù)圖象判斷函數(shù)與直線的公共點(diǎn)的情況，最后結(jié)合兩曲線相切與圖象恰有三個(gè)不同的公共點(diǎn)的關(guān)系即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：畫出函數(shù)f(x)=

2-( 1 2 )x，x≤0 1 2 x3+1，x＞0

，（如圖）．
由圖可知，當(dāng)直線y=mx（m∈R）與函數(shù)的圖象相切時(shí)，即直線y=mx過切點(diǎn)A（1，

3

2

）時(shí)，有唯一解，∴m=

3

2

，
結(jié)合圖象得：直線y=mx（m∈R）與函數(shù)f(x)=

2-( 1 2 )x，x≤0 1 2 x3+1，x＞0

的圖象恰有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞

3

2

故答案為：(

3

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的圖象的交點(diǎn)以及數(shù)形結(jié)合方法，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，本題由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，使得問題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷．