Question

已知函數f（x）=

lnx

x

-1．
（1）試判斷函數f（x）的單調性；
（2）設m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）確定函數的定義域，求導函數，由導數的正負明確的函數的單調區(qū)間；
（2）分類討論極值點與區(qū)間[m，2m]的位置關系，從而確定函數f（x）在[m，2m]上的單調性，即可求函數的最大值．

解答：解：（1）函數的定義域為（0，+∞）
求導函數，可得f′（x）=

1-lnx

x2

，
令f′（x）＞0，而x＞0，可得0＜x＜e，
令f′（x）＜0，可得x＞e，
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，e），單調遞減區(qū)間為（e，+∞）；
（2）①當0＜2m≤e，即0＜m≤

e

2

時，由（1）知，函數f（x）在[m，2m]上單調遞增，
∴f（x）_max=f（2m）=

ln2m

2m

-1，
②當m≥e時，由（1）知，函數f（x）在[m，2m]上單調遞減，
∴f（x）_max=f（m）=

lnm

m

-1，
③當m＜e＜2m，即

e

2

＜m＜e時，由（1）知，函數f（x）在[m，e]上單調遞增，（e，2m]上單調遞減，
∴f（x）_max=f（e）=

1

e

-1，
∴f（x）在[m，2m]上的最大值為f（x）_max=

ln2m 2m -1，0＜m≤ e 2 1 e -1， e 2 ＜m＜e lnm m -1，m≥e

．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，利用導數求函數的最值，對于利用導數研究函數的單調性，注意導數的正負對應著函數的單調性．利用導數研究函數問題時，經常會運用分類討論的數學思想方法．屬于中檔題．