Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，=（n∈N⁺）（Ⅰ） 試求a₂₀₁₁的值；
（Ⅱ）記數(shù)列{}（n∈N⁺}的前n項(xiàng)和為S_n，若對n∈N⁺恒有a²-a＞S_n+，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由b_n=，則b_n+1-b_n=2，從而可證數(shù)列{b_n} 為等差數(shù)列，然后利用累乘法求出a_n，從而求出a₂₀₁₁的值；
（Ⅱ）先求 ，從而有a²-a≥+，故可求a的取值范圍．
解答：解：（I）令，則b_n+1-b_n=2，又
故{b_n}為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，b_n=2n
∴
累乘可得a_n=a^n-1（n-1）!于是a₂₀₁₁=2²⁰¹⁰×2010!
（Ⅱ） ，∴
若對n∈N⁺恒有a²-a＞S_n+，∴a²-a≥+，解得
點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，并借助裂項(xiàng)求和，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為通過求最值，從而轉(zhuǎn)化為解不等式，進(jìn)而求出參數(shù)的范圍．