已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋，且存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0．

(1)證明f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)；

(2)設(shè)x1＝0，xn+1＝f(xn)，y1＝，yn+1＝f(yn)，其中n＝1，2，…，證明xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn；

(3)證明．

答案：
解析：

　　證明：(1)∵x＝3x2－2x＋＝3()2＋＞0，

　　∴f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)．

　　(2)∵0＜x0＜，即x1＜x0＜y1，

　　又f(x)是增函數(shù)，∴f(x1)＜f(x0)＜f(y1)，

　　即x2＜x0＜y2．又x2＝f(x1)＝f(0)＝＞0＝x1，y2＝f(y1)＝f()＝＝y(tǒng)1．

　　綜上，x1＜x2＜x0＜y2＜y1

　　用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n＝1時(shí)，上面已證明成立．

　　②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，有xk＜xk+1＜x0＜yk+1＜yk．

　　當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，有f(xk)＜f(xk+1)＜f(x0)＜f(yk+1)＜f(yk)，

　　∴xk+1＜xk＋2＜x0＜yk+2＜yk+1．

　　由①和②知對(duì)一切n＝1，2，…都有xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn．

　　(3)－(yn＋xn)＋≤(yn＋xn)2－(yn＋xn)＋＝[(yn＋xn)－]2＋．

　　由(2)知0＜yn＋xn＜1，

　　∴．

　　∴．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.

(1)求實(shí)數(shù)m的值；

(2)作出函數(shù)f(x)的圖像；

(3)根據(jù)圖像指出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(4)根據(jù)圖像寫(xiě)出不等式f(x)>0的解集；

(5)求當(dāng)x∈[1,5)時(shí)函數(shù)的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)與冪函數(shù)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（河北） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝2loga(2x＋t)(t∈R)，其中x∈[0,15]，a＞0，且a≠1.
(1)若1是關(guān)于x的方程f(x)－g(x)＝0的一個(gè)解，求t的值；
(2)當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆江西省高二下學(xué)期第二次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.

(1)當(dāng)a＝0時(shí)，解不等式f(x)≥g(x)；

(2)若任意x∈R，f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆新課標(biāo)高三配套第四次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.

（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）當(dāng)a＝1時(shí)，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋3]上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)＝M(t)－m(t)，求函數(shù)g(t)在區(qū)間[－3，－1]上的最小值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年湖南省、岳陽(yáng)縣一中高三11月聯(lián)考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿(mǎn)分13分）(第一問(wèn)8分，第二問(wèn)5分)

已知函數(shù)f(x)＝2lnx，g(x)＝ax2＋3x.

（1）設(shè)直線(xiàn)x＝1與曲線(xiàn)y＝f(x)和y＝g(x)分別相交于點(diǎn)P、Q，且曲線(xiàn)y＝f(x)和y＝g(x)在點(diǎn)P、Q處的切線(xiàn)平行，若方程f(x2＋1)＋g(x)＝3x＋k有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)F(x)滿(mǎn)足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x2－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分別是函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)；試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈(0,1］時(shí)，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

 

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