Question

過拋物線＝2px的焦點F做傾斜角為θ的直線交拋物線于A、B兩點，設(shè)△AOB的面積為S(O為原點)。

    (1)用θ，p表示S；

    (2)求S的最小值；若最小值為4時，求此時的拋物線方程。

 

Answer 1

答案：
解析：

求△AOB面積的方法，有兩種途徑，一是求頂點到AB的距離OH，(如圖所示)，利用S＝|AB|·|OH|お；一是將圖形進行分割，利用S＝S△AOF＋S△BOF，把OF看作兩三角形的公共底邊。 解法一  設(shè)A(x1，y1)，B(x=，y2)。     若θ＝90。時，AB⊥x軸，從拋物線定義知，|AB|＝2p，這時|OH|＝|OF|＝。お     若θ≠90°時，設(shè)直線AB方程為y＝ (x－).     則|OH|＝，(∵0°＜θ＜180°)     從     　　　　   ①     ∵y1，y2是方程①的兩根     ∴。     從弦長公式，得     |AB| 　　    　　    　　    =お     ∴S　　    ②     當θ＝90°時，從式②得S。     ∴，那么問題(1)解決。     對于(2)，∵0°＜θ＜180°，     ∴，當且僅當θ＝90°時，等號成產(chǎn)，即，表明焦點弦AB變成通徑時，ΔAOB面積最小。 令=4，得，根據(jù)對稱性，所求拋物線是或。 解法二   從S 其余同解法一就可得到結(jié)論。