Question

已知雙曲線的頂點與焦點分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點與頂點，若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構(gòu)成的四邊形恰為正方形，則橢圓的離心率為（　　）

A． 1 3

B． 1 2

C． 3 3

D． 2 2

Answer 1

∵雙曲線的頂點與焦點分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點與頂點
∴雙曲線的頂點是(±

a2-b2

，0)，焦點是（±a，0）
設(shè)雙曲線方程為

x2

m2

-

y2

n2

=1(m＞0，n＞0)
∴雙曲線的漸近線方程為y=±

n

m

x
∵m=

a2-b2

，n2=a2-m2=b2
∴n=b
∵雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構(gòu)成的四邊形恰為正方形
∴雙曲線的漸近線方程為y=±x
∴m=n
∴a²-b²=b²
∴c²=a²-c²
∴a²=2c²
∴a=

2

c
∴e=

c

a

=

2

2

故選D．