Question

（2010•眉山一模）已知集合A={x|x²-2ax+a²-1＜0}，B={x|

x+1

ax-2

}，命題P：2∈A，命題q：1∈B，若復合命題“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意可得，A={x|x²-2ax+a²-1＜0）={x|a-1＜x＜a+1}，由2∈A，可得a-1＜2＜a+1，則可得P所對應的 a的范圍，由1∈B={x|

x+1

ax-2

＞1}得

2

a-2

＞1，解不等式可求q所對應的a的范圍，由命題“p或q”為真命題，“p且q”為假命題可知p，q一個為真，一個為真，分類討論：p為真，q為假；p為假，q為真可求

解答：解：A={x|x²-2ax+a²-1＜0）={x|a-1＜x＜a+1}
P：有2∈A，可得a-1＜2＜a+1，則1＜a＜3
即P：1＜a＜3（4分）
由1∈B={x|

x+1

ax-2

＞1}得

2

a-2

＞1
∴

2

a-2

-1＞0
∴

4-a

a-2

＞0
即q：2＜a＜4（8分）
∵命題“p或q”為真命題，“p且q”為假命題
∴p，q一個為真，一個為假
當p為真，q為假時，則

1＜a＜3 a≤2或a≥4

即1＜a≤2
當p為假，q為真時，則a

a≤1或a≥3 2＜a＜4

即3≤a＜4
綜上可得，1＜a≤2或3≤a＜4（12分）

點評：本題主要考查了復合命題p且q，p或q命題真假的應用，解題的關(guān)鍵是熟練常見不等式的解法，準確解出命題p，q為真時的a的范圍