Question

設(shè)函數(shù)，其中a＞0，
（1）解不等式f（x）≤1；
（2）證明：當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞]上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）不等式f（x）≤1，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式組，根據(jù)a的范圍求解不等式即可．
（2）當(dāng)a≥1時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即：在區(qū)間[0，+∞）上任取x₁，x₂，使得x₁＜x₂，證明f（x₁）-f（x₂）＞0，從而證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞]上是單調(diào)減函數(shù)．
解答：（1）解：不等式f（x）≤1即，
由此得1≤1+ax，即ax≥0，其中常數(shù)a＞0．
所以，原不等式等價(jià)于
即（3分）
所以，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，所給不等式的解集為；
當(dāng)a≥1時(shí)，所給不等式的解集為{x|x≥0}．（6分）
（2）證明：在區(qū)間[0，+∞）上任取x₁，x₂
使得x₁＜x₂
=
=
∵，
∴，
又x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．
所以，當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．（12分）
點(diǎn)評：本小題主要考查不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性等基本知識，分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算、推理能力．