Question

光澤圣農(nóng)公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年需投入固定成本0.5萬元，此外每生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品，還需增加投入0.25萬元，經(jīng)市場調(diào)查知這種產(chǎn)品年需求量為500件，產(chǎn)品銷售數(shù)量為t件時，銷售所得的收入為（0.05t-

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20000

t2）萬元．
（1）該公司這種產(chǎn)品的年生產(chǎn)量為x件，生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得到的利潤關(guān)于當年產(chǎn)量x的函數(shù)為f（x），求f（x）；
（2）當該公司的年產(chǎn)量為多少件時，當年所獲得的利潤最大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤=銷售所得的收入-銷售成本，建立函數(shù)關(guān)系即可；
（2）利用配方法，求得二次函數(shù)f（x）=-

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20000

x2+0.0475x-0.5在x=475時取得最大值，即獲得的利潤最大．

解答：解：（1）由題意可知，公司生產(chǎn)并銷售x件產(chǎn)品的銷售收入為（0.05x-

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20000

x2）萬元，
投入固定成本0.5萬元，另需增加投入

x

100

×0.25萬元．
∴f（x）=0.05x-

1

20000

x2-（0.5+

x

100

×0.25）=-

1

20000

x2+0.0475x-0.5，（0＜x≤500）；
（2）由f（x）=-

1

20000

x2+0.0475x-0.5=-

1

20000

(x-475)2+10.78125．
∴當x=475時，f（x）_max=10.78125．
∴當年產(chǎn)量為475（件）時，當年公司所得利潤最大，最大為10.78125萬元．

點評：本題考查了函數(shù)模型的性質(zhì)與運用，考查了簡單的建模思想方法，訓練里利用配方法求二次函數(shù)的最值，是中檔題．