Question

為了加強環(huán)保建設，提高社會效益和經(jīng)濟效益，某市計劃用若干年時間更換一萬輛燃油型公交車．每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，更換的新車為電力型車和混合動力型車．今年初投入了電力型公交車128輛，混合動力型公交車400輛，計劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%，混合動力型車每年比上一年多投入a輛．設a_n、b_n分別為第n年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量，設S_n、T_n分別為n年里投入的電力型公交車、混合動力型公交車的總數(shù)量．
（1）求S_n、T_n，并求n年里投入的所有新公交車的總數(shù)F_n；
（2）該市計劃用7年的時間完成全部更換，求a的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意得出數(shù)列{a_n}是首項為128、公比為1+50%=

3

2

的等比數(shù)列； 數(shù)列{b_n}是首項為400、公差為a的等差數(shù)列，運用求和公式求解即可．
（2）運用題目條件判斷因為256[(

3

2

)n-1]、400n+

n(n-1)

2

a(a＞0)是關于n的單調遞增函數(shù)，得出滿足a的最小值應該是F₇≥10000，求解即256[(

3

2

)7-1]+400×7+

7×6

2

a≥10000，解得a范圍即可得出最小值．．

解答： （1）設a_n、b_n分別為第n年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量，
依題意知，數(shù)列{a_n}是首項為128、公比為1+50%=

3

2

的等比數(shù)列；      
數(shù)列{b_n}是首項為400、公差為a的等差數(shù)列，
所以數(shù)列{a_n}的前n和Sn=

128[1-( 3 2 )n]

1- 3 2

=256[(

3

2

)n-1]，
數(shù)列{b_n}的前n項和Tn=400n+

n(n-1)

2

a，
所以經(jīng)過n年，該市更換的公交車總數(shù)Fn=Sn+Tn=256[(

3

2

)n-1]+400n+

n(n-1)

2

a；        
            
（2）因為256[(

3

2

)n-1]、400n+

n(n-1)

2

a(a＞0)是關于n的單調遞增函數(shù)，
因此F_n是關于n的單調遞增函數(shù)，
所以滿足a的最小值應該是F₇≥10000，
即256[(

3

2

)7-1]+400×7+

7×6

2

a≥10000，解得a≥

3082

21

，
又a∈N^*，所以a的最小值為147．

點評：本題綜合考查了數(shù)列在實際問題中的應用，結合函數(shù)不等式求解，難度較大．