Question

（本小題滿分12分）

    已知函數(shù)在處取得極值為2，設(shè)函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)處的切線斜率為k。

    （1）求k的取值范圍；

    （2）若對(duì)于任意，存在k，使得，求證：

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ；（Ⅱ）成立 。

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

（1）中，函數(shù)在處取得極值為2那么可知道a,b的值，求解得到解析式。然后分析范圍

（2）根據(jù)由于，故只需要證明時(shí)結(jié)論成立

由，得，構(gòu)造函數(shù)的思想，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)得到證明。

解：（Ⅰ）

由及得，                          （2分）

設(shè)，得                          （4分）

（Ⅱ），令

的增區(qū)間為，故當(dāng)時(shí)，.

即，故                                        （6分）

(法一)由于，故只需要證明時(shí)結(jié)論成立

由，得，

記，則

，則，

設(shè)，，

為減函數(shù)，故 為減函數(shù)

故當(dāng)時(shí)有，此時(shí)，為減函數(shù)

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)

所以為的唯一的極大值，因此要使，必有

綜上，有成立                                      （12分）

（法二） 由已知：         ①

下面以反證法證明結(jié)論：

假設(shè)，則，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415124926392161/SYS201208241513275535826087_DA.files/image023.png">，，所以，

又，故

與①式矛盾

假設(shè)，同理可得

與①式矛盾

綜上，有成立                                   （12分）