Question

正方形ABCD中，AB=2，E、F分別是邊AB及BC的中點(diǎn)，將△AED及△DCF折起（如圖），使A、C點(diǎn)重合于A′點(diǎn)．
（Ⅰ）證明A′D⊥EF；
（Ⅱ）求A′D與平面DEF所成角的正切值．

Answer 1

證明：（I）∵ABCD是正方形
∴AD⊥AB，DC⊥BC，
即AD⊥AE，DC⊥CF，折起后，即A′D⊥A′E，A′D⊥A′F
∴A′D⊥面A′EF
∴A′D⊥EF
證明：（II）取EF中點(diǎn)G，連接A′G，DG，過A′做DG的垂線，交DG于H．
∵G是中點(diǎn)，且A′E=A′F=1，DE=DF=
∴A′G⊥EF，GD⊥EF
∴EF⊥面A′GD，
∴EF⊥A′H
又因?yàn)锳′H⊥DG 所以A′H⊥面DEF
所以∠A′DG即所求的A′D與平面DEF所成角，
又因?yàn)锳′D⊥面A′EF，所以A′D⊥A′G
所以tan∠A′DG=，
由題意可知，A′G=，A′D=2，
所以tan∠A′DG=
已知a∈R，設(shè)函數(shù)．
分析：（I）由正方形的幾何牲，我們易得AD⊥AB，DC⊥BC，即折起后A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，由線面垂直的判定定理可得，A′D⊥面A′EF，再由線面垂直的性質(zhì)可得A′D⊥EF；
（Ⅱ）取EF中點(diǎn)G，連接A′G，DG，過A′做DG的垂線，交DG于H．根據(jù)等腰三角形三線合一，可得A′G⊥EF，GD⊥EF，則EF⊥面A′GD，進(jìn)而可得A′H⊥面DEF，由二面角的平面角的定義，可得∠A′DG即所求的A′D與平面DEF所成角，解△A′DG即可求出．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面所成的解，直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，其中（1）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直的之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，（2）的關(guān)鍵是求得∠A′DG即所求的A′D與平面DEF所成角．