Question

，已知y=f（x）是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）且f（0）=1，數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，試比較S_n與6n²-2的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意把1換成f（0）化簡可得，即可得到a_n的通項(xiàng)公式；
（2）利用等比數(shù)列的求和公式求出s_n，然后令n=1，2，3，4，5…求出s_n，并與6n²-2的大小進(jìn)行猜想S_n＞6n²-2，最后運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)猜想進(jìn)行證明．
解答：解：（1）由題設(shè)知（n∈N^*），可化為．
所以有，
即．
因此數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
所以，即a_n=4×3^n-1（n∈N^*）．
（2）S_n=a₁+a₂+a₃++a_n=4（1+3¹+3²++3^n-1）=2（3ⁿ-1），
當(dāng)n=1時(shí)，有S_n=6n²-2=4；
當(dāng)n=2時(shí)，有S_n=16＜6n²-2=22；
當(dāng)n=3時(shí)，有S_n=6n²-2=52；
當(dāng)n=4時(shí)，有S_n=160＞6n²-2=94；
當(dāng)n=5時(shí)，有S_n=484＞6n²-2=148；
…
由此猜想當(dāng)n≥4時(shí)，有S_n＞6n²-2，
即3^n-1＞n²．
下面由數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=4時(shí)，顯然成立；
②假設(shè)n=k（k≥4，k∈N^*）時(shí)，有3^k-1＞k²．
當(dāng)n=k+1時(shí)，3^k=3×3^k-1＞3k²，
因?yàn)閗≥4，所以k（k-1）≥12．
所以3k²-（k+1）²=2k（k-1）-1＞0，
即3k²＞（k+1）²．
故3^k＞3k²＞（k+1）²，
因此當(dāng)n=k+1時(shí)原式成立．
由①②可知，當(dāng)n≥4時(shí)，有3^n-1＞n²，
即S_n＞6n²-2．
故當(dāng)n=1，3時(shí)，有S_n=6n²-2；
當(dāng)n=2時(shí)，有S_n＜6n²-2；
當(dāng)n≥4時(shí)，有S_n＞6n²-2．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)猜想進(jìn)行證明．