Question

（2008•湖北模擬）已知f(x)=3sinωxcosωx-

3

cos2ωx+2sin2(ωx-

π

12

)+

3

12

(ω＞0)．
（1）求函數(shù)f（x）值域；（2）若f（x）周期為π，求ω并寫出該函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)二倍角公式對所給函數(shù)進(jìn)行化簡整理后再借助與正弦函數(shù)的值域即可得到結(jié)論；
（2）直接代入周期計(jì)算公式求出ω，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2ωx-

3

2

(2cos2ωx-1)+1-cos(2ωx-

π

6

)=

3

(

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx)-cos(2ωx-

π

6

)+1=

3

sin(2ωx-

π

6

)-cos(2ωx-

π

6

)+1（2分）
=2[

3

2

sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

cos(2ωx-

π

6

)]+1=2sin(2ωx-

π

3

)+1（6分）
∴f（x）值域?yàn)閇-1，3]（不同變形參照給分）
（2）因?yàn)閒（x）周期為π，∴ω=1（8分）
∴f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1
∴f（x）在[0，

5

12

π]、[

11

12

π，π]上單調(diào)遞增，在[

5

12

π，

11

12

π]上單調(diào)遞減．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．解決這類題目的關(guān)鍵在于對公式的熟練掌握以及靈活運(yùn)用．