已知橢圓C1
x2
A2
+
y2
B2
=1(A>B>0)
和雙曲線C2
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
有相同的焦點F1、F2,2c是它們的共同焦距,且它們的離心率互為倒數(shù),P是它們在第一象限的交點,當(dāng)cos∠F1PF2=60°時,下列結(jié)論中正確的是( 。
分析:利用橢圓、雙曲線的定義,結(jié)合余弦定理,可得4c2=A2+3a2,利用離心率互為倒數(shù),可得A=
c2
a
,由此可得結(jié)論.
解答:解:由題意,|PF1|+|PF2|=2A,|PF1|-|PF2|=2a,則|PF1|=A+a,|PF2|=A-a
∵cos∠F1PF2=60°,∴4c2=(A+a)2+(A-a)2-(A+a)(A-a)=A2+3a2,
∵離心率互為倒數(shù)
c
A
c
a
=1
∴A=
c2
a

∴4c2=
c4
a2
+3a2,
∴c4+3a4=4a2c2,
故選A.
點評:本題考查橢圓、雙曲線的定義與幾何性質(zhì),考查余弦定理,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,其中F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點,M是C1與C2在第一象限的交點,且|MF2|=
5
3

(1)求橢圓C1的方程;
(2)已知菱形ABCD的頂點A,C在橢圓C1上,對角線BD所在的直線的斜率為1.
①當(dāng)直線BD過點(0,
1
7
)時,求直線AC的方程;
②當(dāng)∠ABC=60°時,求菱形ABCD面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一條準(zhǔn)線方程是x=
25
4
,其左、右頂點分別是A、B;雙曲線C2
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一條漸近線方程為3x-5y=0.
(1)求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率;
(2)在第一象限內(nèi)取雙曲線C2上一點P,連接AP交橢圓C1于點M,連接PB并延長交橢圓C1于點N,若
AM
=
MP
.求
MN
AB
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
2
2
,直線l:y=x+2
2
與以原點為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓C1的方程.
(Ⅱ)設(shè)橢圓C1的左焦點為F1,右焦點為F2,直線l1過點F1,且垂直于橢圓的長軸,動直線l2垂直l1于點P,線段PF2的垂直平分線交l2于點M,求點M的軌跡C2的方程;
(Ⅲ)若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦,垂足為右焦點F2,求四邊形ABCD的面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)與雙曲線C2:x2-
y2
4
=1有公共的焦點,C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A,B兩點,若C1恰好將線段AB三等分,則b2=
0.5
0.5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•汕頭一模)已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點分別為F1、F2,右頂點為A,離心率e=
1
2

(1)設(shè)拋物線C2:y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于F1,求橢圓的方程;
(2)設(shè)已知雙曲線C3以橢圓C1的焦點為頂點,頂點為焦點,b是雙曲線C3在第一象限上任意-點,問是否存在常數(shù)λ(λ>0),使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.

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同步練習(xí)冊答案