Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-

a(x-1)

x

(a＞0)．
（1）求f（x）的最小值；
（2）證明：不等式

1

lnx

-

1

2

＜

1

x-1

對一切x＞1恒成立．

Answer 1

分析：（1）求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調性，從而可求f（x）的最小值；
（2）只需證明

1

lnx

＜

1

x-1

+

1

2

，即證lnx＞

2(x-1)

x+1

，構造g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，確定其單調性，可得結論．

解答：（1）解：∵f(x)=lnx-

a(x-1)

x

(a＞0)，∴f′(x)=

x-a

x2

∴f（x）在（0，a）上遞減，在（a，+∞）上遞增
∴f（x）的最小值為f（a）=lna+1-a；
（2）證明：只需證明

1

lnx

＜

1

x-1

+

1

2

，即證lnx＞

2(x-1)

x+1

令g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，則g′（x）=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0
∵x＞1，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上單調遞增，
∴g（x）＞g（1）=0，∴lnx＞

2(x-1)

x+1

故原不等式成立．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查不等式的證明，確定函數(shù)的單調性是關鍵．