Question

已知A，B，C是三角形△ABC三內(nèi)角，向量

m

=(-1，

3

)，

n

=(cosA，sinA)，且

m

•

n

=1
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面積等于

3

，求b，c．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由數(shù)量積和三角函數(shù)的性質(zhì)可得sin(A-

π

6

)=

1

2

，由A的范圍可得A的值；（Ⅱ）由余弦定理和面積可得b、c的方程組，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

•

n

=1，∴(-1，

3

)•(cosA，sinA)=1，
所以

3

sinA-cosA=1…（2分）
進(jìn)而可得2(sinA•

3

2

-cosA•

1

2

)=1，sin(A-

π

6

)=

1

2

…..（4分）
∵0＜A＜π，-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，∴A=

π

3

…．（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得，b²+c²-bc=4…..（8分）
又因?yàn)椤鰽BC的面積等于

3

，所以

1

2

bcsinA=

3

，得bc=4．（10分）
聯(lián)立方程組

b2+c2-bc=4 bc=4

，解得b=2，c=2．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積，涉及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和余弦定理，屬中檔題．