Question

已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求面積的最大值.

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程組成方程組，即可求的值。（Ⅱ）由橢圓方程可知。可分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，為了省去討論也可直接設(shè)直線方程為。與橢圓聯(lián)立方程，消去整理可得關(guān)于的一元二次方程，因?yàn)橛袃蓚�交點(diǎn)即方程有兩根，所以判別式應(yīng)大于0。然后用韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系。求面積時可先求截得的弦長，再求點(diǎn)到直線的距離，從而可求面積（此種方法計(jì)算量過大）。另一方法求面積：可用轉(zhuǎn)化思想將分解成兩個小三角形，即。因?yàn)?/span>，可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題。

試題解析：【解析】
（Ⅰ）由題意，橢圓的方程為. 1分

將點(diǎn)代入橢圓方程，得，解得.

所以 橢圓的方程為. 3分

（Ⅱ）由題意可設(shè)直線的方程為：.

由得.

顯然 .

設(shè)，，則 7分

因?yàn)?的面積，其中.

所以 .

又，

. 9分

.

當(dāng)時，上式中等號成立.

即當(dāng)時，的面積取到最大值. 11分

考點(diǎn)：1橢圓方程；2直線與橢圓的位置關(guān)系；3三角形面積；4最值問題。