Question

4．設(shè)f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且f′（x）＞2f（x）（x∈R），f（$\frac{1}{2}$）=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式f（lnx）＜x²的解集為（0，$\sqrt{e}$）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，求出導(dǎo)數(shù)，判斷F（x）在R上遞增．原不等式等價(jià)為F（lnx）＜F（$\frac{1}{2}$），運(yùn)用單調(diào)性，可得lnx＜$\frac{1}{2}$，運(yùn)用對數(shù)不等式的解法，即可得到所求解集．

解答 解：可構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，
F′（x）=$\frac{f′（x）•{e}^{2x}-2f（x）•{e}^{2x}}{（{e}^{2x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-2f（x）}{{e}^{2x}}$，
由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上遞增．
不等式f（lnx）＜x²即為$\frac{f（lnx）}{{x}^{2}}$＜1，（x＞0），即$\frac{f（lnx）}{{e}^{2lnx}}$＜1，x＞0．
即有F（$\frac{1}{2}$）=$\frac{f（\frac{1}{2}）}{e}$=1，即為F（lnx）＜F（$\frac{1}{2}$），
由F（x）在R上遞增，可得lnx＜$\frac{1}{2}$，解得0＜x＜$\sqrt{e}$．
故答案為：（0，$\sqrt{e}$）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查構(gòu)造法的運(yùn)用，以及單調(diào)性的運(yùn)用，對數(shù)不等式的解法，屬于難題．