Question

已知橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，M，N是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且M與C的焦點(diǎn)不重合．若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|+|BN|=（　�。�

• A、4
• B、8
• C、12
• D、16

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)已知條件，作出圖形，MN的中點(diǎn)連接橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，便會(huì)得到三角形的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)及橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為2a即可求出|AN|+|BN|．

解答： 解：設(shè)MN的中點(diǎn)為D，橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，如圖，連接DF₁，DF₂，∵F₁是MA的中點(diǎn)，D是MN的中點(diǎn)，∴F₁D是△MAN的中位線；
∴|DF1|=

1

2

|AN|，同理|DF2|=

1

2

|BN|；
∴|AN|+|BN|=2（|DF₁|+|DF₂|），∵D在橢圓上，∴根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的定義知：
|DF₁|+|DF₂|=4，∴|AN|+|BN|=8．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：考查三角形的中位線，橢圓的定義：|PF₁|+|PF₂|=2a，a＞0．