Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且對(duì)于任意x∈R，都有f（x）=f（-x）及f（x+4）=f（x）+f（2）成立．當(dāng)x₁、x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時(shí)，都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0成立．現(xiàn)給出下列四個(gè)結(jié)論：
①f（2）=0；②函數(shù)f（x）在區(qū)間[-6，-4]上為增函數(shù)；③直線x=-4是函數(shù)f（x）的一條對(duì)稱(chēng)軸；④方程f（x）=0在區(qū)間[-6，6]上有4個(gè)不同的實(shí)根．
其中正確命題的序號(hào)是    ． （把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）

Answer 1

【答案】分析：由函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且對(duì)于任意x∈R，都有f（x）=f（-x），易得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，又由當(dāng)x₁、x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時(shí)，都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0成立．則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上為增函數(shù)，又由f（x+4）=f（x）+f（2），易得函數(shù)是T=4的周期函數(shù)，然后對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．
解答：解：∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，
又∵對(duì)于任意x∈R，都有f（x）=f（-x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
又∵當(dāng)x₁、x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時(shí)，
都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0成立．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上為增函數(shù)，
又∵f（x+4）=f（x）+f（2），
∴函數(shù)是T=4的周期函數(shù)，
則函數(shù)草圖如下圖所示：
由圖易得：f（2）=0，故①正確；
函數(shù)f（x）在區(qū)間[-6，-4]上為減函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
直線x=-4是函數(shù)f（x）的一條對(duì)稱(chēng)軸，故③正確
方程f（x）=0在區(qū)間[-6，6]上有-6，-2，2，6共4個(gè)不同的實(shí)根．故④正確
故答案為：①③④
點(diǎn)評(píng)：當(dāng)遇到函數(shù)綜合應(yīng)用時(shí)，處理的步驟一般為：①根據(jù)“讓解析式有意義”的原則，先確定函數(shù)的定義域；②再化簡(jiǎn)解析式，求函數(shù)解析式的最簡(jiǎn)形式，并分析解析式與哪個(gè)基本函數(shù)比較相似；③根據(jù)定義域和解析式畫(huà)出函數(shù)的圖象④根據(jù)圖象分析函數(shù)的性質(zhì)．