Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是常數(shù)，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成公比不為1的等比數(shù)列．
（I）求c的值；
（II）求{a_n}的通項公式．
（III）由數(shù)列{a_n}中的第1、3、9、27、…項構(gòu)成一個新的數(shù)列{b_n}，求的值．

Answer 1

解：（I）a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，因為a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，
所以（2+c）²=2（2+3c），解得c=0或c=2．
當(dāng)c=0時，a₁=a₂=a₃，不符合題意舍去，故c=2．
（II）當(dāng)n≥2時，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…a_n-a_n-1=（n-1）c，
所以．
又a₁=2，c=2，故a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n=2，3，）．
當(dāng)n=1時，上式也成立，所以a_n=n²-n+2（n=1，2，）
（III）b_n=3^2n-2-3^n-1+2，
∴=9．
分析：（I）利用題設(shè)遞推式分別表示出a₂和a₃，利用三者的等比關(guān)系求得c．
（II）分別表示很出a₂-a₁，a₃-a₂等，利用疊加法求得數(shù)列的通項公式．
（III）把利用（II）中數(shù)列{a_n}的通項公式，求得b_n}，代入到求得答案．
點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式，數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)．涉及了綜合知識的運(yùn)用．