Question

已知函數(shù)f（x）=（x-a-1）e^x+（b+1）x，g（x）=x²e^x，a、b∈R．
（1）若b是函數(shù)g（x）的極大值點(diǎn)，求b的值；
（2）在（1）的條件下，若函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（3）若x₁＞0，x₂＞0，且x₁≠x₂，求證：

ex1-ex2

x1-x2

＞e

x1+x2

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）通過求導(dǎo)，得到函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，從而求出b的值，
（2）由（1）可知，f（x）=（x-a-1）e^x-x，求出f′（x）=xe^x-ae^x-1，得到a＞x-

1

ex

在（0，+∞）內(nèi)有解；h（x）＞h（0）=-1，進(jìn)而求出a的范圍，
（3）不妨設(shè)x₁＞x₂，則原式即證ex1-ex2＞（x₁-x₂）e

x1+x2

2

，從而 ex1-x2-1＞（x₁-x₂）e

x1-x2

2

，令t=x₁-x₂，則原式即證e^t-1＞te

t

2

，設(shè)p（t）=e^t-te

t

2

-1（t＞0），通過求導(dǎo)得出結(jié)論．

解答： 解：（1）g′（x）=x（x+2）e^x，
令g′（x）=0，則x=0或x=-2
當(dāng)x＞0時(shí)，在x=0附近有g(shù)′（x）＞；
當(dāng)x＜0時(shí)，在x=0附近有g(shù)′（x）＜0
∴x=0是函數(shù)g（x）的極小值點(diǎn)．
當(dāng)x＞-2時(shí)，在x=2附近有g(shù)′（x）＜0；
當(dāng)x＜-2時(shí)，在x=-2附近有g(shù)′（x）＞0，
∴x=-2是函數(shù)g（x）的極大值點(diǎn)；
∴b=-2．
（2）由（1）可知，f（x）=（x-a-1）e^x-x，
∴f′（x）=xe^x-ae^x-1，
∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間
∴xe^x-ae^x-1＜0 在（0，+∞）內(nèi)有解，
即a＞x-

1

ex

在（0，+∞）內(nèi)有解；
∵函數(shù)h（x）=x-

1

ex

在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
∴在（0，+∞）內(nèi)h（x）＞h（0）=-1，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間時(shí)，a＞-1，
（3）不妨設(shè)x₁＞x₂，則原式即證ex1-ex2＞（x₁-x₂）e

x1+x2

2

，
∵ex2＞0，兩邊同除以ex2得 ex1-x2-1＞（x₁-x₂）e

x1-x2

2

，
令t=x₁-x₂，則原式即證e^t-1＞te

t

2

，
下面進(jìn)行證明．
設(shè)p（t）=e^t-te

t

2

-1（t＞0），
∴p′（t）=e^t-e

t

2

-

1

2

te

t

2

=e

t

2

（e

t

2

-1-

t

2

），
令u（t）=e

t

2

-1-

t

2

，
∵t＞0，
則u′（t）=

1

2

e

t

2

-

1

2

=

1

2

（e

t

2

-1）＞0，
∴函數(shù)u（t）是增函數(shù)，
∴u（t）＞u（0）=0，
∴p′（t）＞0
∴函數(shù)p（t）是增函數(shù)，
∴p（t）＞p（0）=0，
∴e^t-1＞te

t

2

，
綜上，

ex1-ex2

x1-x2

＞e

x1+x2

2

成立．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的取值范圍，以及不等式的證明．本題是一道綜合題．