Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，且a_n+1-3a_n=3ⁿ，（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n=3^-na_n．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)Sn=

a1

3

+

a2

4

+

a3

5

+…+

an

n+2

，求滿足不等式

1

128

＜

Sn

S2n

＜

1

4

的所有正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析：（1）由b_n=3^-na_n得a_n=3ⁿb_n，則a_n+1=3ⁿ⁺¹b_n+1．由此入手，能夠證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）因?yàn)閿?shù)列{b_n}是首項(xiàng)為b₁=3^-1a₁=1，公差為

1

3

等差數(shù)列，所以bn=1+

1

3

(n-1)=

n+2

3

，a_n=3ⁿb_n=（n+2）×3^n-1．由此能手能夠求出滿足不等式

1

128

＜

Sn

S2n

＜

1

4

的所有正整數(shù)n的值．

解答：（1）證明：由b_n=3^-na_n得a_n=3ⁿb_n，則a_n+1=3ⁿ⁺¹b_n+1．
代入a_n+1-3a_n=3ⁿ中，得3ⁿ⁺¹b_n+1-3ⁿ⁺¹b_n=3ⁿ，
即得bn+1-bn=

1

3

．
所以數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．（6分）

（2）解：因?yàn)閿?shù)列{b_n}是首項(xiàng)為b₁=3^-1a₁=1，公差為

1

3

等差數(shù)列，
則bn=1+

1

3

(n-1)=

n+2

3

，則a_n=3ⁿb_n=（n+2）×3^n-1．（8分）
從而有

an

n+2

=3n-1，
故Sn=

a1

3

+

a2

4

+

a3

5

++

an

n+2

=1+3+32++3n-1=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

．（11分）
則

Sn

S2n

=

3n-1

32n-1

=

1

3n+1

，
由

1

128

＜

Sn

S2n

＜

1

4

，得

1

128

＜

1

3n+1

＜

1

4

．
即3＜3ⁿ＜127，得1＜n≤4．
故滿足不等式

1

128

＜

Sn

S2n

＜

1

4

的所有正整數(shù)n的值為2，3，4．（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解，合理地運(yùn)用公式．