Question

如圖所示，直角坐標系xOy建立在湖泊的某一恰當位置，現(xiàn)準備在湖泊的一側修建一條觀光大道，它的前一段MD是以O為圓心，OD為半徑的圓弧，后一段DBC是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0， ），x∈[4，8]時的圖象，圖象的最高點為
（Ⅰ）求函數(shù)y=sin（ωx+φ）的解析式；
（Ⅱ）若在湖泊內修建如圖所示的矩形水上樂園OEPF，其中折線FPE為水上賽艇線路，問點P落在圓弧MD上何處時賽艇線路最長？

Answer 1

解：（I）對于函數(shù)y=Asin（ωx+φ），
由圖象知，， …（3分）
將 代入到 中，得，又，
所以，故 …（7分）
（II）在 中令x=4，得
∴ …（9分）
連接OP，設∠EOP=θ，，則
設賽艇線路長為L．
則= …（12分）
當 時L 有最大值，此時．…（14分）
所以當P 點的坐標為 時賽艇線路最長．′…（15分）
分析：（I）函數(shù)y=f（x）的相鄰兩條對稱軸間距離，求出函數(shù)周期，得到ω，函數(shù)的圖象的一個對稱中心，求出φ，然后求出函數(shù)y=f（x）的解析式；
（II）在 中令x=4，得OD，再連接OP，設賽艇線路長為L．利用三角函數(shù)表示出來L，再利用三角函數(shù)的性質求得L 有最大值即可解決問題．
點評：題是基礎題，考查三角函數(shù)的解析式的求法，注意周期的應用，兩角和的余弦公式的應用，同時注意角的范圍，以及角的變換的技巧，是解題的關鍵，考查計算能力．