Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，a₂=2，S_n是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且（n∈N*）．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）對(duì)于數(shù)列{b_n}，若存在常數(shù)M，使b_n＜M（n∈N*），且，則M叫做數(shù)列{b_n}的“上漸近值”．設(shè)（n∈N*），T_n為數(shù)列{t_n}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列{T_n}的上漸近值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)條件可知．由此能夠解得a=0．
（2）由題意可知，．所以2S_n-1=（n-1）a_n-1（n≥2）．由此可知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2（n-1）（n∈N^*）．
（3）由題設(shè)條件知．由此可知T_n=t₁+t₂+…+t_n=．從而求得數(shù)列{T_n}的上漸近值是3．
解答：解：（1）∵，∴．（2分）∴a=0．（3分）
（2）由（1）可知，．
∴2S_n-1=（n-1）a_n-1（n≥2）．
∴2（S_n-S_n-1）=na_n-（n-1）a_n-1，2a_n=na_n-（n-1）a_n-1，（n-2）a_n=（n-1）a_n-1．（5分）
∴．（6分）
因此，．（8分）
又a₁=0，∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2（n-1）（n∈N^*）．（10分）
（3）由（2）有，．于是，
=
=．（12分）
∴T_n=t₁+t₂+…+t_n
=
=．（14分）
又，
∴數(shù)列{T_n}的上漸近值是3．（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．