Question

若函數y=f（x）（x∈R₊）滿足：①?x∈R₊都有f（2x）=2f（x），②f（x）=1-|2x-3|（1≤x≤2）則
（1）f（2013）=

70

；
（2）方程f（x）=f（2013）的解的最小值為

163

．

Answer 1

分析：（1）由①?x∈R₊都有f（2x）=2f（x），②f（x）=1-|2x-3|（1≤x≤2）可得f（2013）=1024•f（

2013

1024

），f（

2013

1024

）=1-|2×

2013

1024

-3|，代入可得答案．
（2）根據f（x）=f（2013）=70，根據f（x）=2ⁿ•f（

x

2n

）（其中n滿足1≤

x

2n

≤2，即2ⁿ≤x≤2ⁿ⁺¹），進而可求出滿足條件的最小值．

解答：解：（1）f（2013）=2•f（

2013

2

）=4•f（

2013

4

）=…=1024•f（

2013

1024

）
∵當1≤x≤2時，f（x）=1-|2x-3|
∴f（

2013

1024

）=1-|2×

2013

1024

-3|=

35

512

∴f（2013）=1024•

35

512

=70
（2）∵f（x）=f（2013）
∴f（x）=70
若1≤x≤2，1-|2x-3|=70無解
若x＞2，不妨令n滿足1≤

x

2n

≤2，即2ⁿ≤x≤2ⁿ⁺¹•
∴f（x）=2ⁿ•f（

x

2n

）=2ⁿ（1-|2×

x

2n

-3|）=2ⁿ-|2x-3•2ⁿ|
令2ⁿ-|2x-3•2ⁿ|=70
若x取最小值，則2ⁿ≤2×70≤2ⁿ⁺¹•
則2ⁿ=128，
即128+70=|2x-3•128|
解得x=291（舍）或x=163
故答案為：163

點評：本題考查的知識點是函數的方程的綜合應用，函數的值，由于函數是抽象函數，故難度較大．