Question

下列函數(shù)是偶函數(shù)且在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)的是（　　）

• A、y=cosx
• B、y=|x+1|
• C、y=ln

  2+x

  2-x

• D、y=e^x+e^-x

Answer 1

分析：根據(jù)選項逐個分析即得答案，A．y=cosx是偶函數(shù)，在[0，

π

2

]上是減函數(shù)；B．y=|x+1|不是偶函數(shù)；C．y=ln

2+x

2-x

根據(jù)偶函數(shù)的定義可得，它不是偶函數(shù)；D．根據(jù)偶函數(shù)的定義可判定其是偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性．

解答：解：A．∵y=cosx是偶函數(shù)，在[0，

π

2

]上是減函數(shù)，∴y=cosx在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，故A不正確；
B．y=|x+1|的圖象是有y=|x|相左平移一個單位而得到，而函數(shù)y=|x|是偶函數(shù)，故y=|x+1|不是偶函數(shù)，故B不正確；
C．y=ln

2+x

2-x

的定義域為（-2，2），且ln

2-x

2+x

+ln

2+x

2-x

=0，∴y=ln

2+x

2-x

是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C不正確；
D．易證y=e^x+e^-x是偶函數(shù)，y′=e^x-e^-x

e2x-1

ex

＞0，x∈（0，1），
∴y=e^x+e^-x在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)．
故選D．

點評：考查基本初等函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，以及圖象的變換，和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，綜合性較強，屬基礎(chǔ)題．