Question

（2014•廣東模擬）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=

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AD，PA=PD，E，F(xiàn)為AD，PC的中點． 
（Ⅰ）求證：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）求證：AD⊥PB．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接AC交BE于O，由條件證明四邊形ABCE為平行四邊形，O為AC中點，OF∥PA，再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證明PA∥平面BEF．
（Ⅱ）連接PE，證明AD⊥PE，AD⊥BE，再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理證得AD⊥平面PBE，再利用直線和平面垂直的性質(zhì)定理證得AD⊥PB．

解答：（Ⅰ）證明：連接AC交BE于O，并連接EC，F(xiàn)O，∵BC∥AD，BC=

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2

AD，E為AD中點，∴AE∥BC，且AE=BC，∴四邊形ABCE為平行四邊形，…（1分）
∴O為AC中點． …（2分）
又∵F為AD中點，∴OF∥PA．…（4分）
∵OF?平面BEF，PA?平面BEF，…（5分）∴PA∥平面BEF． …（7分）
（Ⅱ）連接PE，∵PA=PD，E為AD中點，∴AD⊥PE．…（8分）
∵

BC∥AD，BC= 1 2 AD

，E為AD的中點，∴BCDE為平行四邊形，∴BE∥CD．
∵AD⊥CD，∴AD⊥BE．

…

（9分）
∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面PBE，…12 分
∵PB?平面PBE，∴AD⊥PB． …14 分

點評：本題主要考查證明線線垂直、線面平行、線面垂直的方法，直線和平面平行的判定定理、直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．