Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁．
（Ⅰ）求證：AB⊥BC；
（Ⅱ）若直線AC與平面A₁BC所成的角為θ，二面角A₁-BC-A的大小為φ，試判斷θ與φ的大小關(guān)系，并予以證明．

Answer 1

【答案】分析：本小題主要考查直棱柱、直線與平面所成角、二面角和線面關(guān)系等有關(guān)知識，同時考查空間想象能力和推理能力．
（1）若要證明AB⊥BC，可以先證明AB⊥平面BC₁，由線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直．
（2）要判斷直線AC與平面A₁BC所成的角為θ，二面角A₁-BC-A的大小為φ的大小關(guān)系，可以先做出二面角的平面角，再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解答．也可以根據(jù)（1）的結(jié)論，以以點B為坐標(biāo)原點，以BC、BA、BB₁所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系利用空間向量，求出兩個角的正弦值，再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性解答．
解答：解：（Ⅰ）證明：如圖，過點A在平面A₁ABB₁內(nèi)作AD⊥A₁B于D，
由平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩側(cè)面A₁ABB₁=A₁B，得
AD⊥平面A₁BC，又BC?平面A₁BC，
所以AD⊥BC．
因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
則AA₁⊥底面ABC，
所以AA₁⊥BC．
又AA₁∩AD=A，從而BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，
又AB?側(cè)面A₁ABB₁，故AB⊥BC．

（Ⅱ）解法1：連接CD，則由（Ⅰ）知∠ACD是直線AC與平面A₁BC所成的角，∠ABA₁是二面角A₁-BC-A的平面角，即∠ACD=θ，∠ABA₁=φ，
于是在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，，
由AB＜AC，得sinθ＜sinφ，又，所以θ＜φ，

解法2：由（Ⅰ）知，以點B為坐標(biāo)原點，以BC、BA、BB₁所在的直線分
別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AA₁=a，AC=b，
AB=c，則B（0，0，0），A（0，c，0），，
于是，．
設(shè)平面A₁BC的一個法向量為n=（x，y，z），
則由．得．
可取n=（0，-a，c），于是與n的夾角β為銳角，則β與θ互為余角．，，
所以，
于是由c＜b，得，
即sinθ＜sinφ，又，所以θ＜φ，
點評：線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據(jù)．垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來．
本題也可以用空間向量來解決，其步驟是：建立空間直角坐標(biāo)系⇒明確相關(guān)點的坐標(biāo)⇒明確相關(guān)向量的坐標(biāo)⇒通過空間向量的坐標(biāo)運算求解．