（本小題滿分12分）

已知橢圓C:的離心率為，A,B分別為橢圓的長軸和短軸的端點，M為AB的中點，O為坐標(biāo)原點，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過的直線與橢圓交于P、Q兩點，求POQ的面積的最大時直線的方程。

 

【答案】

（1）；（2）當(dāng)直線的方程為時，面積最大.

【解析】離心率為，列式，，M為AB的中點，O為坐標(biāo)原點，且.三式求解；（Ⅱ）過的直線與橢圓交于P、Q兩點，求POQ的面積的最大，考查的是弦長公式，點到直線的距離，列出關(guān)于POQ的面積公式，均值定理求解。

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，則，解得，所以橢圓的方程為.                                             ----------4分                                                                 

（Ⅱ）方法一：設(shè)交點，，

當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，

則易得.                                                  --------------6分

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為（），聯(lián)立橢圓方程，得，兩個根為 

恒成立，，                ---------7分

則，

又原點到直線的距離=，                            --------------8分

所以

                                           --------------11分

所以，當(dāng)直線的方程為時，面積最大.              --------------12分

方法二：設(shè)交點，，

當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，

則易得.                                                    ----------6分

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為（），聯(lián)立橢圓方程，得

，兩個根為，

恒成立，，                  -----------7分

                      ---------------8分

        =

                                             ---------11分

所以，當(dāng)直線的方程為時，面積最大.                 -----------12分

 

練習(xí)冊系列答案
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（文） （本小題滿分12分已知函數(shù)y=4-2
3
sinx•cosx-2sin2x(x∈R)，
（1）求函數(shù)的值域和最小正周期；
（2）求函數(shù)的遞減區(qū)間．

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（2011•自貢三模）（本小題滿分12分＞
設(shè)平面直角坐標(biāo)中，O為原點，N為動點，|
ON
|=6，
ON
=
5
•
OM
．過點M作MM1丄y軸于M1，過N作NN1⊥x軸于點N1，
OT
=
M1M
+
N1N
，記點T的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程：
（H）已知直線L與雙曲線C：5x2-y2=36的右支相交于P、Q兩點（其中點P在第-象限）．線段OP交軌跡C于A，若
OP
=3
OA
，S△PAQ=-26tan∠PAQ求直線L的方程．

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（本小題滿分12分）已知函數(shù)，且。①求的最大值及最小值；②求的在定義域上的單調(diào)區(qū)間.

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（2009湖南卷文）（本小題滿分12分）

為拉動經(jīng)濟(jì)增長，某市決定新建一批重點工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的、、.現(xiàn)有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設(shè).求：

（I）他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率；    w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（II）至少有1人選擇的項目屬于民生工程的概率.

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某民營企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖1，B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2，

（注：利潤與投資單位是萬元）

（1）分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)，并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式.（2）該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入到A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤為多少萬元.

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