已知集合M是滿足下列兩個條件的函數(shù)f（x）的全體：①f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)；②在f（x）的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域為數(shù)學公式．則下列函數(shù)中，是集合M中的元素有______（將所有符合條件的序號都填上）．
（1）f（x）=x2；（2）f（x）=2x；（3）f（x）=log2x；（4）數(shù)學公式，x∈（-2，2）．

解：（1）函數(shù)在定義域內(nèi)是偶函數(shù)，故不單調(diào)，故（1）不是屬于M；
（2）f（x）=2xR上是單調(diào)函數(shù)，但不存在閉區(qū)間[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域為，故不是屬于M；
（3）f（x）=log2x在（0，+∞）上單調(diào)增，若屬于M，則，即在（0，+∞）上有兩解，利用導數(shù)可知成立，故是屬于M；
（4），在x∈（-2，2）是單調(diào)增函數(shù)，若屬于M，在（-2，2）上有兩解，而函數(shù)為奇函數(shù)，故存在，是屬于M．
故答案為（3）（4）
分析：（1）函數(shù)在定義域內(nèi)是偶函數(shù)，故不單調(diào)；
（2）f（x）=2xR上是單調(diào)函數(shù)，但不存在閉區(qū)間[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域為，故不是屬于M；
（3）f（x）=log2x在（0，+∞）上單調(diào)增，若屬于M，則，即在（0，+∞）上有兩解，從而可判斷；
（4），在x∈（-2，2）是單調(diào)增函數(shù)，若屬于M，在（-2，2）上有兩解，而函數(shù)為奇函數(shù)，從而可判斷．
點評：題是一道帶新定義的探究性的題目，在做這一類型題時，關(guān)鍵點是弄清題目中的新定義，并會用它來解題．考查集合的包含關(guān)系、函數(shù)的定義域、值域問題，同時考查數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想和利用所學知識分析問題、解決問題的能力．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域內(nèi)存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．
（1）函數(shù)f(x)=
1
x
是否屬于集合M？說明理由；
（2）設函數(shù)f(x)=lg
a
x2+1
∈M，求a的取值范圍；
（3）設函數(shù)y=2x圖象與函數(shù)y=-x的圖象有交點，證明：函數(shù)f（x）=2x+x2∈M．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)T，對任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．
（1）函數(shù)f（x）=x是否屬于集合M？說明理由；
（2）設函數(shù)f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點，證明：f（x）=ax∈M；
（3）若函數(shù)f（x）=sinkx∈M，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)k，對定義域中的任意x，等式f（kx）=
k2
+f（x）恒成立．
（1）判斷一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0）是否屬于集合M；
（2）證明函數(shù)f（x）=log2x屬于集合M，并找出一個常數(shù)k；
（3）已知函數(shù)f（x）=logax（ a＞1）與y=x的圖象有公共點，證明f（x）=logax∈M．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M是滿足下列條件的函數(shù)f（x）的全體；
①當x∈[0，+∞）時，函數(shù)值為非負實數(shù)；
②對于任意的s、t∈x[0，+∞），λ＞0，都有
f(x)+λf(t)
1+λ
≤f(
s+λt
1+λ
)
在三個函數(shù)f1（x）=x-1，f2(x)=2x-1，f3(x)=ln
x+1
中，屬于集合M的是
f3（x）
f3（x）
（寫出您認為正確的所有函數(shù)．）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•嘉定區(qū)三模）已知集合M是滿足下列兩個條件的函數(shù)f（x）的全體：①f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)；②在f（x）的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域為[
a
2
 ， 
b
2
]．若函數(shù)g(x)=
x-1
+m，g（x）∈M，則實數(shù)m的取值范圍是
(0 ， 
1
2
]
(0 ， 
1
2
]
．

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