Question

已知k∈R，若過定點(diǎn)A的直線x+ky=0與過定點(diǎn)B的直線kx-y-3k+1=0交于點(diǎn)P，則|

PA

|•|

PB

|的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：先計(jì)算出兩條動(dòng)直線經(jīng)過的定點(diǎn)，即A和B，注意到兩條動(dòng)直線相互垂直的特點(diǎn)，則有PA⊥PB；再利用基本不等式放縮即可得出|

PA

|•|

PB

|的最大值．

解答： 解：由題意可知，動(dòng)直線x+ky=0經(jīng)過定點(diǎn)A（0，0），
動(dòng)直線kx-y-3k+1=0即k（x-3）-y+1=0，經(jīng)過點(diǎn)定點(diǎn)B（3，1），
注意到動(dòng)直線x+ky=0和動(dòng)直線kx-y-3k+1=0始終垂直，P又是兩條直線的交點(diǎn)，
則有PA⊥PB，∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10．
故|

PA

|•|

PB

|≤

PA|2+|PB|2

2

=5（當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=

5

時(shí)取“=”）
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：本題是直線和不等式的綜合考查，特別是“兩條直線相互垂直”這一特征是本題解答的突破口，從而有|PA|²+|PB|²是個(gè)定值，再由基本不等式求解得出．直線位置關(guān)系和不等式相結(jié)合，不容易想到，是個(gè)靈活的好題．