Question

已知直線l：xsinθ-ycosθ+sinθ+λ=0，下列命題中真命題序號為（　�。�
①直線l的斜率為tanθ；
②存在實(shí)數(shù)λ，使得對任意的θ，直線l恒過定點(diǎn)；
③對任意非零實(shí)數(shù)λ，都有對任意的θ，直線l與同一個定圓相切；
④若圓O：（x+1）²+y²=4上到直線l距離為1的點(diǎn)恰好3個，則λ=±1．

• A、①②
• B、②③
• C、②③④
• D、①③④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,直線的一般式方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：簡易邏輯

分析：①當(dāng)cosθ=0時，直線l沒有斜率，判斷①的正誤；
②存在實(shí)數(shù)λ=0，使得對任意的θ，直線l恒過定點(diǎn)（0，0），判斷②的正誤；
③對任意非零實(shí)數(shù)λ，都有對任意的θ，直線l與同一個定圓（x+1）²+y²=λ²相切，判斷③的正誤；
④由圓O：（x+1）²+y²=4上到直線l距離為1的點(diǎn)恰好3個，知圓（x+1）²+y²=4的圓心（-1，0）到直線xsinθ-ycosθ+sinθ+λ=0的距離為1，由此求出λ=±1，判斷正誤．

解答： 解：①當(dāng)cosθ=0時，直線l沒有斜率，故①不正確；
②當(dāng)λ=0時，直線l：xsinθ-ycosθ+sinθ=0，
當(dāng)sinθ=0時，cosθ=1，直線l：-y=0過定點(diǎn)（0，0），
當(dāng)sinθ≠0時，直線l：x-

cosθ

sinθ

y=0過定點(diǎn)（0，0），
∴存在實(shí)數(shù)λ=0，使得對任意的θ，直線l恒過定點(diǎn)（0，0），故②正確；
③∵直線l：xsinθ-ycosθ+sinθ+λ=0，
∴點(diǎn)（-1，0）到直線l的距離d=

|-sinθ-0+sinθ+λ|

sin2θ+cos2θ

=|λ|，
∴對任意非零實(shí)數(shù)λ，都有對任意的θ，
直線l與同一個定圓（x+1）²+y²=λ²相切，故③正確；
④∵圓O：（x+1）²+y²=4上到直線l距離為1的點(diǎn)恰好3個，
∴圓（x+1）²+y²=4的圓心（-1，0）到直線xsinθ-ycosθ+sinθ+λ=0的距離為1，
∴|-sinθ-0+sinθ+λ|=1，解得λ=±1．故④正確．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷，是中檔題．解題時要認(rèn)真審題，注意直線、圓、點(diǎn)到直線距離公式等知識點(diǎn)的合理運(yùn)用．