Question

已知[x）表示大于x的最小整數(shù)，例如[3）=4，[-1.3）=-1，定義f（x）=[x）-x，則下列命題中正確的是（　�。�
①[x）+[y）≤x+y；
②函數(shù)f（x）=[x）-x的值域是（0，1]；
③f（x）為R上的奇函數(shù)，且f（x）為周期函數(shù)；
④若x∈（1，2015），則方程[x)-x=

1

2

有2014個根．

• A、②④
• B、③④
• C、①④
• D、②③

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①，令x=3，y=-1.3，根據(jù)“[x）表示大于x的最小整數(shù)”，判斷①即可；
②，分“當(dāng)x為整數(shù)時”與“當(dāng)x不為整數(shù)時”討論，依據(jù)“[x）”的含義，判斷②即可；
③，當(dāng)x為整數(shù)時，-x也是整數(shù)，f（-x）=f（x）=1，判斷③即可；
④，利用周期函數(shù)的概念可判斷出f（x）為1為周期的函數(shù)，并求出當(dāng)x∈[0，1）時，f（x）=[x）-x=1-x，作出函數(shù)圖象，判斷④即可．

解答： 解：對于①，令x=3，y=-1.3，則[x）+[y）=[3）+[-1.3）=4-1=3，x+y=3+（-1.3）=1.7，[x）+[y）＞x+y，故①錯誤；
對于②，當(dāng)x為整數(shù)時，f（x）=[x）-x=（x+1）-x=1；
當(dāng)x不為整數(shù)時，f（x）=[x）-x∈（0，1）；
所以，函數(shù)f（x）=[x）-x的值域是（0，1]，故②正確；
對于③，當(dāng)x為整數(shù)時，-x也是整數(shù)，f（-x）=f（x）=1，不是奇函數(shù)，故③錯誤；
對于④，因為f（x+1）=[x+1）-（x+1）=（[x）+1）-（x+1）=[x）-x=f（x），
所以，f（x）為1為周期的函數(shù)，
又當(dāng)x=0時，f（x）=1，當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=[x）-x=1-x，
故其圖象如下：

當(dāng)x∈（1，2015），直線y=

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2

與f（x）=[x）-x有2014個交點（每個周期一個，有2014個周期），
則方程[x)-x=

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2

有2014個根，故④正確．
綜上所述，命題中正確的是②④，
故選：A．

點評：本題考查新定義“[x）”的理解與應(yīng)用，著重考查函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性與值域，理解“[x）”的含義是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與作圖能力，是難題．