Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（k∈R）．
（1）若k=2，求以M（2，f（2））為切點(diǎn)的曲線的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）≤0恒成立，確定實(shí)數(shù)K的取值范圍；
（3）證明：

ln2

3

+

ln3

4

+

ln4

5

+…+

lnn

n+1

＜

(n-1)2

n+1

．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在x=2處的導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，使最大值小于等于0，可求出k的取值范圍；
（3）由（2）知ln（x-1）＜x-2，則

ln(x-1)

x

＜1-

2

x

，取x=3，4，5…n，n+1累加可得結(jié)論．

解答：解：（1）k=2，f（x）=ln（x-1）-2x+3
f′(x)=

1

x-1

-2，則f′（2）=-1
∴k=-1，切線方程為x+y-1=0；
（2）f′(x)=

1

x-1

-k=0得x=1+

1

k

當(dāng)k≤0時(shí)，f′（x）＞0函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，f（x）≤0不恒成立，
當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在(1，1+

1

k

)單調(diào)遞增，在(1+

1

k

，+∞)單調(diào)遞減，
當(dāng)x=1+

1

k

時(shí)，f（x）取最大值，f(1+

1

k

)=ln

1

k

≤0∴k≥1
（3）由（2）知k=1時(shí)，f（x）≤0恒成立，即ln（x-1）＜x-2
∴

ln(x-1)

x

＜1-

2

x

取x=3，4，5…n，n+1累加得

ln2

3

+

ln3

4

+

ln4

5

+…+

lnn

n+1

＜n-1-(

2

3

+

2

4

+

2

5

+…+

2

n+1

)＜n-1-

2(n-1)

n+1

=

(n-1)2

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算的能力，屬于中檔題．