Question

已知f(x)=a-

2

3x+1

(a∈R)：
（1）證明f（x）是R上的增函數；
（2）是否存在實數a使函數f（x）為奇函數？若存在，請求出a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求函數的定義域，然后設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，通過化簡變形判定f（x₁）-f（x₂）的符號，最后根據單調性的定義進行求解；
（2）若存在實數a使函數f（x）為R上的奇函數，則f（0）=0求出a的值，然后利用奇函數的定義證明即可．

解答：（1）證明：對任意x∈R都有3^x+1≠0，∴f（x）的定義域是R，
設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

2

3x2+1

-

2

3x1+1

=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

∵y=3^x在R上是增函數，且x₁＜x₂
∴3^x₁＜3^x₂且（3^x₁+1）（3^x₂+1）＞0⇒f（x₁）-f（x₂）＜0⇒f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函數．
（2）解：若存在實數a使函數f（x）為R上的奇函數，則f（0）=0⇒a=1
下面證明a=1時f(x)=1-

2

3x+1

是奇函數
∵f(-x)=1-

2

3-x+1

=1-

2•3x

1+3x

=1-

2(3x+1)-2

1+3x

=-1+

2

1+3x

=-f(x)
∴f（x）為R上的奇函數
∴存在實數a=1，使函數f（x）為R上的奇函數．

點評：本題主要考查了函數的單調性以及函數的奇偶性，同時考查了計算能力，屬于基礎題．