Question

設(shè)橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，焦距為2，F(xiàn)為右焦點，B₁為下頂點，B₂為上頂點，．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l同時滿足下列三個條件：①與直線B₁F平行；②與橢圓交于兩個不同的點P、Q；③，求直線l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為．
由題意知，2c=2，所以c=1．
由，得，所以b=1，
從而a²=b²+c²=1²+1²=2．
所以所求橢圓方程為；
（Ⅱ）設(shè)滿足條件的直線為l．
因為直線B₁F的斜率等于1，l∥B₁F，故可設(shè)l的方程為y=x+m．
由，得3x²+4mx+2m²-2=0．
由題意，△=16m²-12（2m²-2）＞0，解得m²＜3，
且．
所以，
=．
點O到直線l的距離為d=．
由
=，
得m⁴-3m²+2=0．
解得m²=1或m²=2，所以m=±1或．滿足m²＜3，
但當(dāng)m=-1時，直線y=x-1與B₁F重合，故舍去．
所以，存在滿足條件的直線l，這樣的直線共3條，其方程為y=x+1，y=x-，y=x+．
分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，知道2c可得c，再由求出b的值，利用a²=b²+c²求出a²，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）由直線l與直線B₁F平行，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的方程后由判別式大于0求出m的范圍，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出．由弦長公式求出PQ的長度，由點到直線的距離公式求出坐標(biāo)原點O到直線l的距離，代入求出m的值，驗證后得到符合三個條件的直線l的方程．
點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、面積問題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．屬難題．