Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，且，
（1）求a_2k-1（k∈N^*）；
（2）數(shù)列{y_n}，{b_n}滿足y=a_2n-1，b₁=y₁，且當(dāng)n≥2時(shí)．證明當(dāng)n≥2時(shí)，；
（3）在（2）的條件下，試比較與4的大小關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)n=2k-1，利用條件可證數(shù)列（a_2k-1}為等差數(shù)列．從而可求其通項(xiàng)；
（2）先求得，，然后再寫一式，兩式相減即可證得；
（3）先計(jì)算的當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n=2時(shí)，，再證當(dāng)n≥3時(shí)，利用放縮法結(jié)合裂項(xiàng)求和即可的結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)n=2k-1
由
∴a_2k+1-a_2k-1=1
∴數(shù)列（a_2k-1}為等差數(shù)列．
∴a_2k-1=k（k∈N^*）；        …（4分）
（2）證：y=a_2n-1=n．當(dāng)n≥2時(shí)，…①
∴…②…（6分）
②式減①式，有，得證．                …（8分）
（3）解：當(dāng)n=1時(shí)，；
當(dāng)n=2時(shí)，，
由（2）知，當(dāng)n≥2時(shí)，，
∴當(dāng)n≥3時(shí)，=
∵，
∴     …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列為載體，考查等差數(shù)列的定義，考查數(shù)列與不等式的結(jié)合，有較強(qiáng)的技巧性．